[Statistics 110] 2강 - 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)

본 게시글은 [하버드] 확률론 기초: Statistics 110, 2강 - 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리를 보고 정리한 글입니다.

학습 목표

확률의 naive한 정의로 접근하기 어려운 경우를 알아내고, story proof를 통한 접근을 할 수 있다. 또한 확률의 non-naive한 정의를 위한 공리 2가지를 이해하고 적용할 수 있다.

 

핵심 키워드

• 확률의 naive한 정의
• Story proof
• 확률의 non-naive한 정의의 공리

 

과제에 대한 조언

1. 상식적인 부분을 고려하라
   • 답안이 말이 되도록 쓰는 것뿐 아니라 합리적인 이유가 있어야 한다.
2. 답을 항상 다시 확인해라
   • 일반적인, 극단적인, 계산하기 간단하지만 유의미한 값을 시도해본다
     • n=0, n=1, n=2
3. 추가 설명을 표시하는 것은 매우 유용하다. (사람, 물체)
   • 사람 : 1...n
   • 빨간공 : 1..r, 파란공 : r+1...r+b

학습 내용

$$\binom{10}{4} =\binom{10}{6}$$

10명에서 4명을 뽑으면 6명이 남기때문에 10명에서 4명을 뽑는것이나 6명을 뽑는것이나 같은 경우의 수를 가진다.

 

$$\frac{\binom{10}{5}}{2}$$

10명이 있을때 5명의 2팀을 뽑는것이 문제라면 중복했기 때문에 10명에서 5명을 뽑는 경우의 수를 2로 나눠줘야한다. 

 

 

순서는 상관하지 않고 중복이 가능한 경우 증명

$$\binom{n+k-1}{k}$$

n개에서 k개를 순서 상관 없이, 중복하여 뽑는 경우의 수는 위와 같다

 

숫자를 대입해서 확인해보기

k = 0 => \(\binom{n-1}{0} = 1\)

k = 1 => \(\binom{n}{1} = n\)

n = 2 => \(\binom{k+1}{k} = k+1\)

 

일반화 : n개의 상자에 k개의 구별 불가능한 object들을 넣을 수 있는 경우의 수는 얼마인가?

n(=4)개에서 k(=6)개를 순서 상관 없이, 중복을 하며 뽑을 수 있는 경우의 수는 몇 가지인가?

==> k개의 구슬을 n개의 상자에 넣는 경우의 수는 몇가지 인가?

구슬과 같이 실물이 있는 물체는 labeling이 가능하며 서로 구별이 가능하다. 따라서 확률의 naive한 정의로 접근이 가능하다. 하지만 물리학, counting problem에서의 경우에는 object들이 항상 구별 가능한 것이 아니기 때문에 이와 같은 접근이 어렵다.

 

 

k개의 원 사이에 n-1개의 구분선을 넣는 경우의 수는 몇 가지 인가? (박스를 구분선으로 바꿔서 표기한다)

위 문제는 n+k-1개의 위치에 원과 구분선을 배열하는 것과 같다. 원의 위치를 먼저 정하면 구분선의 위치도 결정되고, 그 반대도 성립하기 때문에 다음과 같은 등십이 성립함을 알 수 있다.

$$\binom{n+k-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k}$$

 

Story Proof : 상황 해석을 통한 증명

상황 해석을 통해 증명 하는것이 대수적 방법으로 접근하는 것보다 훨씬 쉬울 때가 있다.

 

1. \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)

2. \(n\binom{n-1}{k-1} = k\binom{n}{k}\)

n명 중에서 k명을 뽑고, k명 중에서 한 명을 회장으로 뽑는 문제를 생각해보자. 답을 구하기 위한 두 가지 방법이 있다.

 

한 가지 방법은 동아리에 들어갈 k명을 먼저 선택하고 그 중에서 회장을 뽑는 것이다. k명중 한명은 반드시 대표가 되어야한다

따라서 곱의 법칙에 의해 k를 곱하는 것이다. \(k\binom{n}{k}\)

 

두 번째 방법은 대표를 먼저 뽑는것이다. 대표를 먼저 뽑은 뒤에 k-1명의 동아리원을 더 뽑아야 한다. n-1명중에서 선택하는 것이 되겠죠. 그리고 다시 곱의 법칙이 적용됩니다. 따라서 \(n\binom{n-1}{k-1}\)와 같습니다

 

3. \(\binom{m+n}{k} = \sum_{j=0}^{k}{\binom{m}{j}\binom{n}{k-j}}\)

VanderMonde 항등식이라고 불리는 이식은 수학에서 유명한 항등식입니다.

확률 이외의 다른 분야에서도 많이 사용됩니다.

m+n개에서 k개를 뽑는것은 m개 원소가 있는 상자와 n개의 원소가 있는 상자에서 j개와 k-j개를 뽑는것으로 생각할 수 있다. 이 때 j는 0부터 k까지 가면서 모든 경우를 다 더하면 동일한 값을 구할 수 있다.

 

Non-naive definition of probability (단순하지 않은 정의)

확률 공간 (Probability space)은 S와 P로 구성된다

S : 표본 공간

P : 함수, P의 정의역은 S의 부분집합이다. 어떤 사건을 입력으로 하는 함수이다.

 

$$A\subseteq S, P(A) \in [0, 1]$$

입력은 사건이 되고 출력은 0과 1 사이의 수가 됩니다.

 

첫 번째 규칙

$$P(\varnothing)=0, P(S)=1$$

공집합에 대한 확률은 0이고 전체 집합에 대한 확률은 1이다.

 

두 번째 규칙

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}{P(A_n)}$$

합사건에 대한 것인데 \(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\)이것을 가산 무한 합사건이라고 한다.

합사건의 확률은 모든 확률의 합과 같다. 중요한 조건이 있는데 A1, A2 ..가 모두 서로서 일 때만 가능하다 (즉, 중복되는 것이 없다)

 

위의 두 가지 규칙으로 확률에 대한 모든 정리들을 유도할 수 있다.