[Statistics 110] Strategic Pratice 1 (ing)

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1. Naive Definition of Probability

1. For each part, decide whether the blank should be filled in with =, <, or >, and give a short but clear explanation.

각 부분의 빈칸이 =, <, >중 어떤 것인지 결정하세요. 그리고 짧고 명료하게 설명하세요

 

(a) (probability that the total after rolling 4 fair dice is 21) > (probability that the total after rolling 4 fair dice is 22)

4개의 주사위를 던진 후 합이 21일 확률, 4개의 주사위를 던진 후 합이 22일 확률

 

풀이 

4개의 주사위로 21이 나오는 경우는 (3, 6, 6, 6) -> 4, (4, 5, 6, 6) -> \(4! / 2\) = 12, (5, 5, 5, 6) -> 4, 총 20입니다.

4개의 주사위로 22가 나오는 경우는 (4, 6, 6, 6) -> 4, (5, 5, 6, 6) -> \(4! / 2^2\) = 6, 총 10입니다. 

따라서 합이 21일 확률이 더 큽니다.

 

(b) (probability that a random 2 letter word is a palindrome) = (probability that a random 3 letter word is a palindrome)

임의의 2개의 문자가 palindrome일 확률, 임의의 3개의 문자가 palinedrome일 확률

(palindrome : 회문이라는 뜻으로 'eye', 'madam'처럼 역순으로 읽어도 같은 말이나 구절 또는 숫자를 말한다)

 

풀이

임의의 2개의 문자가 회문일 경우의 수는 두 개의 문자가 모두 같은 경우로 26이 나옵니다. 여기에 두개의 문자가 나타낼 수 있는 모든 경우의 수 \(26 \times 26\)을 나눠주면 1/26이 됩니다.

 

임의의 3개의 문자가 회문일 경우의 수는 우선 첫 번째 문자와 세 번째 문자가 모두 같은 경우로 26이 나옵니다. 이때 2번째 문자가 어떤 것이 와도 회문이 되기 때문에 모든 경우의 수는 \(26^2\)가 됩니다. 여기에 세 개의 문자가 나타낼 수 있는 모든 경우의 수 \(26^3\)을 나눠주면 1/26이 됩니다. 

 

두 경우 모두 1/26이 나오기 때문에 두 경우의 확률은 같습니다.

 

원본 풀이

2, 3개의 문자가 있을 때 회문은 첫 번째와 마지막 문자가 같으면 되기 때문에 확률이 같다.

 

2. A random 5 card poker hand is dealt from a standard deck of cards. Find the probability of each of the following (in terms of binomial coecients).

표준 카드덱에서 임의의 5장의 포커 패가 나옵니다. 다음 각 확률을 구합니다.

 

(a) A flush (all 5 cards being of the same suit; do not count a royal flush, which is a flush with an Ace, King, Queen, Jack, and 10)

Flush가 나올 확률(5장의 카드가 모두 같은 모양, ace, king, queen, jack, 10으로 이루어진 flush인 royal flush는 카운트하지 않는다)

 

풀이

모양의 종류는 총 4가지가 있고, 숫자카드 13개 중에서 5개를 뽑는데  한 가지의 경우를 빼야 한다.

$$\frac{4 \times (\binom{13}{5} - 1) }{\binom{52}{5}}$$

 

(b) Two pair (e.g., two 3’s, two 7’s, and an Ace)

Two pair일 확률(One pair가 2개)

13개의 숫자 중에서 2개의 숫자를 골라야 하고 각각의 숫자는 4개의 모양중 2개를 가져야 한다. 그러면 한자리가 남는데 나머지 한자리는 11가지 숫자에서 하나를 고르고, 4개의 모양중 하나를 고를 수 있다.

$$\frac{\binom{13}{2}\times\binom{4}{2}^2\times\binom{11}{1}\times\binom{4}{1}}{\binom{52}{5}}$$

 

3.

(a) How many paths are there from the point (0, 0) to the point (110, 111) in the plane such that each step either consists of going one unit up or one unit to the right?

(0, 0)에서 (110, 111)로 가는 경로가 얼마나 있나요? 각 단계는 한 칸 오른쪽으로 가거나 위로 올라갈 수 있습니다.

 

풀이

(110, 111)까지 가는 경로를 U(up)과 R(right)의 시퀀스로 표현해보겠습니다. 시퀀스는 반드시 110개의 R과 111개의 U로 구성됩니다. 시퀀스를 결정하기 위해 R이 언제 올지만 생각하면 됩니다. 따라서 모든 가능한 경로는 221개에서 110개를 선택하는 경우입니다. (같은 방식으로 221개에서 111개를 선택하는 경우도 같습니다.)

$$\binom{221}{110}$$

 

(b) How many paths are there from (0, 0) to (210, 211), where each step consists of going one unit up or one unit to the right, and the path has to go through (110, 111)?

(0, 0)에서 (210, 211)로 가는 경로가 얼마나 있나요? 각 단계는 한 칸 오른쪽으로 가거나 위로 갈 수 있습니다. 그리고 (110, 111)을 지나야 합니다.

 

풀이

(0, 0)에서 출발하여 (110, 111)을 거쳐 (210, 211)로 가는 경우의 수는 (0, 0)에서 (110, 111)로 가는 경우의 수와 (110, 111)에서 (210, 211)으로 가는 경우의 수를 곱하면 됩니다.

 

(0, 0)에서 (110, 111)로 가는 경우의 수는 위에서 계산한 바와 같이 \(\binom{221}{110}\) 입니다.그리고 (110, 111)에서 (210, 211)로 가는 경우를 보면 100개의 U와 100개의 R이 있습니다. 따라서 (110, 111)에서 (210, 211)로 가는 경우의 수는 \(\binom{200}{100}\) 입니다. 

$$\binom{221}{110} \times \binom{200}{100}$$

 

4. A norepeatword is a sequence of at least one (and possibly all) of the usual 26 letters a,b,c,. . . ,z, with repetitions not allowed. For example, “course” is a norepeatword, but “statistics” is not. Order matters, e.g., “course” is not the same as “source”

norepeatword는 a~z까지 26개 문자중 적어도 하나의 sequence이다. 문자는 반복되어서는 안된다.

예를 들어, "course"는 norepeatword 이다. 하지만 "statistics"는 norepeatword가 아니다. ("course"는 "source"와 같지않다)

 

A norepeatword is chosen randomly, with all norepeatwords equally likely. Show that the probability that it uses all 26 letters is very close to 1/e.

norepeatword는 임의로 선택되며 모든 norepeatword는 동일한 가능성이 있다.

26글자 norepeatword를 만들 확률이 1/e와 매우 근사하다는 것을 보이세요.

 

풀이

26글자를 모두 사용하는 norepeatword가 나올 확률은 26글자 norepeatword가 나오는 경우의 수를 1개~26개의 글자로 norepeatword를 만드는 모든 경우의 수로 나누어 주면 된다.

$$P(26글자 \: norepeatword \: 나올 \:확률) = \frac{26글자를 \: 가지는 \: norepeatword \: 개수}{norepeatword \: 개수}$$

 

(분자)26개의 문자를 가진 norepeatword의 수는 26개의 문자가 순서대로 배열된 것입니다. 따라서 \(26!)\입니다.

(분모)1~26개의 문자를 가진 norepeatword의 수를 구하기 위해선 먼저 각 문자 개수별로 뽑힐 경우를 구하고 해당 개수의 문자들이 배열될 경우를 구해야합니다. 따라서 아래와 같습니다.

$$\sum_{k=1}^{26}{\binom{26}{k}}k!$$

 

분자와 분모를 다시 작성해보면 아래와 같습니다.

$$ \frac{26!}{\sum_{k=1}^{26}{\binom{26}{k}}k!} $$

 

식을 조금 더 풀어보겠습니다. 아래의 식을 보면 26!과 1!~26!을 제거할 수 있다는 것을 볼 수 있습니다.

$$\frac{26!}{\sum_{k=1}^{26}{\binom{26}{k}}k!} = \frac{26!}{\frac{26!}{25!1!}1!+\frac{26!}{24!2!}2!+...+\frac{26!}{1!25!}25!+\frac{26!}{0!26!}26!}$$

 

식에서 항들을 최대한 소거하면 아래와 같이 나옵니다.

$$\frac{26!}{\frac{26!}{25!1!}1!+\frac{26!}{24!2!}2!+...+\frac{26!}{1!25!}25!+\frac{26!}{0!26!}26!} = \frac{1}{\frac{1}{25!}+\frac{1}{24!}+...+\frac{1}{1!}+1}$$

 

\(e^x\)가 어떤 식을 가지는지 알아보겠습니다.

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$$

 

\(e^x\)는 위와 같은 식을 가지는데 자연상수 e는 위의 식에 x=1을 넣은것과 같습니다.

$$e^1 = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1^n}{n!}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} = 1 + \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...$$

 

e의 값을 보면 위에서 구한 분모와 매우 유사하다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 26글자의 norepeatword가 나올 확률은 1/e와 매우 근사합니다.

 

2. Story Proof

5. Give a story proof that \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\)

풀이

n명에서 k개의 부분집합을 구하는 경우다. k가 0~n까지 가기 때문에 n개의 원소가 있는 집합에서 부분집합의 개수를 구한다고 볼 수 있다. 따라서 답은 \(2^n\)이 된다.

 

6. Give a story proof that \(\frac{(2n)!}{2^nn!}=(2n-1)(2n-3)...3\times 1\)

 

7. Show that all positive integers n and k with n\(\ge\)k,

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}$$

Doing this two ways: (a) algebraically and (b) with a "story", giving an integer-pretation for why both sides count the same thing.

$$Hint\: for\: the\: "Story"\: proof: imagine\: n+1\: people,\: with\: one\: of\: them\:pre-designated\:as\:"president"$$

 

Algebraically 풀이

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}=\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}\left ( \frac{1}{k}+\frac{1}{(n-k+1)} \right)$$

$$\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}\left ( \frac{1}{k}+\frac{1}{(n-k+1)} \right)=\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}\left ( \frac{n+1}{k(n-k+1)} \right )=\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!}$$

$$\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!}=\binom{n+1}{k}$$

 

Story Proof 풀이