[Statistics 110] 1강 - 확률과 셈 원리 (Probability and Counting)

본 게시글은 [하버드] 확률론 기초: Statistics 110, 1강 - 확률과 셈 원리를 보고 정리한 글입니다.

 

목차

• 확률론의 활용 영역
• 용어 정리
• 확률의 Naive한 정의
  • 내포하고 있는 가정
• 셈 원리(Counting Principle)
• 이항 계수(Bionomial Coefficient)
  • 이항 계수 수식에 대한 설명
• 포커에서 풀하우스가 나올 확률 찾기
• Sampling Table(표본 추출 정리 표)

 

들어가기

확률론의 기초 이론을 배우는 과목입니다.

여러 가지 문제의 확률 계산 방법, 이산 및 연속 확률분포, 조건부 확률 분포, 마코프 체인, 중심극한정리 등을 배울 수 있습니다.

이곳에서 배운 이론은 수리통계학, 시뮬레이션에 근간이 되는 내용입니다.

 

학습 목표

확률의 기초 용어(표본공간, 사건, 셈 원리)를 이해하고 적용할 수 있다.

 

핵심 키워드

• 표본 공간 (sample space)
• 사건 (Event)
• 셈 원리-곱의 법칙 (Counting-Multiplication Rule)
• 이항 계수 (Binomial Coefficient)

학습 내용

확률론의 활용 영역

• 유전학, 물리학, 계량 경제학, 금융, 역사학, 정치
• 인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있다
• 도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다 (페르마, 파스칼)
• 인생 전반 : 수학이 확실성에 대한 학문이라면, 확률은 불확실성(Uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해준다

용어 정리

• 표본 공간(Sample Space) : 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 집합
• 사건(Event) : 표본공간의 부분집합
• P(A) : A라는 사건이 일어날 확률

확률의 Naive한 정의

내포하고 있는 가정:

• 모든 사건이 발생할 확률은 같다
• 유한한 표본공간
• 항상 이 가정이 만족되는 것은 아니기 때문에 적용 불가한 경우들이 있다

 

셈 원리(Counting Principle)

곱의 법칙(Multiplication Rule) : 발생 가능한 경우의 수가  \(n_1, n_2, ..., n_r\)가지인 \(1, 2, ..., r\)번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 \(n_1 \times n_2 \times...\times n_r\) 이다.

 

예시 : 아이스크림을 선택할 때 2개의 콘과 3개의 맛이 있다면 총 6가지의 경우의 수가 생긴다 (2 * 3)

 

이항계수(Bionomial Coefficient)

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times(n-k+1)}{k!}$$

\(\binom{n}{k}\)는 n개 중 k를 고르는 경우의 수를 뜻하고 이항 계수라고 부른다. (순서 관계 없이)

 

\(\binom{n}{k} (if\; k>n :0)\)

이 값이 의미하는 것은 n명의 사람이 있을 때 그 중에서 k명의 사람을 뽑는 경우의 수이다. 순서는 고려하지 않는다

따라서 k 크기를 가지는 부분집합의 개수라고 할 수 있다.

k가 n보다 큰 경우 0으로 정의되어야 하는데, 10명 중에서 11명을 선택하는 것은 불가능하기 때문이다

 

이항 계수 수식에 대한 설명

n명의 사람중에서 k명을 선택하는 상황에서 첫 번째 사람을 선택한다면 n가지의 선택지가 있습니다. 누구든지 선택할 수 있기 때문이죠 그리고 그 다음 사람은 이미 선택된 사람을 제외한 누군가가 됩니다. \(n \times (n-1)\) 그리고 그 다음은 \(n \times (n-1) \times (n-2)\)가 되겠죠.

 

이런 식으로 \((n-k+1)\)까지 계속할 수 있는데요. \(n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-k+1)\) 여기까지는 특정한 순서로 사람을 선택할 때의 경우의 수가 될 것입니다. 하지만 여기 선택된 k명의 사람들은 어떠한 순서로든지 선택될 수 있죠. 그래서 이것을 k!으로 나누는 겁니다. 왜냐하면 이만큼 중복해서 셌기 때문이죠.

 

포커에서 풀하우스가 나올 확률 찾기

카드 뭉치는 52장의 카드로 이루어 지고 이 중에서 5장의 카드를 받는다.

풀 하우스는 세 장이 같은 숫자로 이루어지고 나머지 두 장도 같은 숫자인 경우이다. (7 세장, 10 두장)

카드가 잘 섞여있기 때문에 다섯 장의 카드를 뽑는 모든 경우는 동일한 확률을 가진다고 가정한다.

우선 52개중에서 5개를 뽑는 경우의 수는 얼마일까요?

$$\binom{52}{5}$$

 

가장 먼저 세 장을 고르는 것을 어떻게 해야 할까요?

첫번째로 7를 고른다고 생각해보면 13가지 중에서 한 가지를 선택한다고 할 수 있겠죠 그리고 곱의 법칙을 이용해 이것을 계산하겠습니다.

$$\frac{13}{\binom{52}{5}}$$

 

총 세 장의 7을 골라야 하는데 카드 뭉치 한 개에는 총 4장의 7이 있죠, 따라서 4개중에서 3개를 뽑을 확률을 곱해줘야 합니다

$$\frac{13 \times \binom{4}{3}}{\binom{52}{5}}$$

 

이제 10을 선택해야 합니다. 총 12 가지의 선택지가 있습니다. 7을 제외하고 어떤 수든지 가능하기 때문이죠. 

$$\frac{13 \times \binom{4}{3} \times 12}{\binom{52}{5}}$$

 

두 장을 뽑아야 하기 때문에 4장 중 2장을 뽑는 경우의 수가 됩니다. 그럼 이제 끝입니다.

$$\frac{13 \times \binom{4}{3} \times 12 \times \binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}$$

 

 

표본 추출 정리 표 (Sampling Table) : n개 중에서 k개 뽑기

	순서 상관 있음	순서 상관 없음
중복	\(n^k\)	\(\binom{n+k-1}{k}\)
중복x	\(n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-k+1)\)	\(\binom{n}{k}\)